Question

11．已知向量$\overrightarrow a≠\overrightarrow e$，$|\overrightarrow e|=1$，对任意t∈R，恒有$|\overrightarrow a-t\overrightarrow e|≥|\overrightarrow a-2\overrightarrow e|$，则（　　）

• A． $\overrightarrow a⊥\overrightarrow e$
• B． $\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow e）$
• C． $\overrightarrow e⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow e）$
• D． $（\overrightarrow a+2\overrightarrow e）⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow e）$

Answer 1

分析 对|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{e}$|两边平方可得关于t的一元二次不等式 t²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$t+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$-4≥0，为使得不等式恒成立，则一定有△≤0．

解答 解：已知向量$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{e}$，|$\overrightarrow{e}$|=1，
对任意t∈R，恒有|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{e}$|，
即|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{e}$|²≥|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{e}$|²，∴t²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$t+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$-4≥0，
即△=（2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$）²-4（4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$-4）≤0，
即（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$-2）²≤0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$-2=0，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$-2$\overrightarrow{e}$²=0，
∴$\overrightarrow{e}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{e}$）=0，
故选C

点评 本题主要考查向量的长度即向量的模的有关问题，属于基础题．