Question

1．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{2}{3}$，且S₂+$\frac{1}{2}$a₂=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=log₃$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}$，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意得$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$q+$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$q=1，解得q，即可得出．
（2）由（1）知：b_n=log₃$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}$=log₃3^-2n=-2n，$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•（2n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意得$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$q+$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$q=1，即q=$\frac{1}{3}$，
因此a_n=a₁•q^n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$．
（2）由（1）知：b_n=log₃$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}$=log₃3^-2n=-2n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•（2n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、裂项求和方法、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．