Question

13．已知x∈（0，+∞）有下列各式：x+$\frac{1}{x}$≥2，x+$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$≥3，x+$\frac{27}{{x}^{3}}$=$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{27}{{x}^{3}}$≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+$\frac{a}{{x}^{4}}$≥5，则正数a=4⁴．

Answer 1

分析 由已知中的不等式，归纳推理得：x+$\frac{{n}^{n}}{{x}^{n}}$≥n+1，进而根据n+1=5，求出n值，进而得到a值．

解答 解：由已知中：x∈（0，+∞）时，
x+$\frac{1}{x}$≥2，x+$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$≥3，x+$\frac{27}{{x}^{3}}$=$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{27}{{x}^{3}}$≥4
…
归纳推理得：x+$\frac{{n}^{n}}{{x}^{n}}$≥n+1，
若x+$\frac{a}{{x}^{4}}$≥5，
则n+1=5，即n=4，
此时a=nⁿ=4⁴，
故答案为4⁴．

点评 本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知归纳推理得：x+$\frac{{n}^{n}}{{x}^{n}}$≥n+1，是解答的关键．