Question

已知复数z₁=cosx+i，z₂=1-isinx，x∈R．
（1）求|z₁-z₂|的最小值；
（2）设z=z₁•z₂，记f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移

π

2

个单位长度，得到函数g（x）的图象．试求函数g（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,复数代数形式的混合运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用已知条件直接求解|z₁-z₂|，得到表达式后，利用三角函数的最值求解复数的模的最小值；
（2）化简z=z₁•z₂，求出函数f（x）的表达式，利用图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移

π

2

个单位长度，求出函数g（x）的图象对应的函数g（x）的解析式．

解答： 解（1）∵复数z₁=cosx+i，z₂=1-isinx，x∈R，
∴|z₁-z₂|=

(cosx-1)2+(1+sinx)2

=

3+2 2 sin(x- π 4 )

．
∴当sin（x-

π

4

）=-1，即x=2kπ-

π

4

，k∈Z时，
|z₁-z₂|_min=

3-2 2

=

2

-1．
（2）∵z=z₁•z₂，
∴z=z₁•z₂=sinx+cosx+（1-sinxcosx）i．
f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．
∴f（x）=1-sinxcosx=1-

1

2

sin2x，x∈R．．
将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后，
得到的图象所对应的函数是y₁=1-

1

2

sinx．
把函数y=1-

1

2

sinx的图象向右平移

π

2

个单位长度，得到的图象对应的函数是y=1-

1

2

sin（x-

π

2

）．
∴g（x）=1-

1

2

sin（x-

π

2

）=1+

1

2

cosx，x∈R．

点评：本题以复数为载体，考查三角函数的化简求值，函数的图象的变换，基本知识的考查．