Question

已知椭圆C：

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

6

3

，短轴右端点为A，P（1，0）为线段OA的中点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P任作一条直线与椭圆C相交于两点M，N，试问在x上是否存在定点Q，使得∠MQP=∠NQP，若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据短轴右端点为A，P（1，0）为线段OA的中点，求出b，利用离心率e=

6

3

，求出a，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，当MN⊥x轴时，x₀∈R；当MN与x轴不垂直时，设MN所在直线的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程化简，利用韦达定理，结合若∠MQP=∠NQP，则k_MQ+k_NQ=0，理得k（x₀-4）=0，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，b=2，
又e=

6

3

，即

a2-4

a

=

6

3

，解得a=2

3

，…（2分）
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

12

=1．…（4分）
（Ⅱ）假设存在点Q（x₀，0）满足题设条件．
当MN⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠MQP=∠NQP，即x₀∈R； …（6分）
当MN与x轴不垂直时，设MN所在直线的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程化简得：（k²+3）x²-2k²x+k²-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2k2

k2+3

，x₁x₂=

k2-12

k2+3

，
若∠MQP=∠NQP，则k_MQ+k_NQ=0，则
k_MQ+k_NQ=

y1

x1-x0

+

y2

x2-x0

=k[

2(k2-12)

k2+3

-

2(1+x0)k2

k2+3

+2x0]=0，
整理得k（x₀-4）=0，
∵k∈R，∴x₀=4，即Q的坐标为Q（4，0）．
综上，在x轴上存在定点Q（4，0），使得∠MQP=∠NQP．…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．