Question

已知a＞0，函数f（x）=ax²-2ax+2lnx，g（x）=f（x）-2x．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论g（x）的单调性；
（Ⅲ）当a＞1时，若函数h（x）=g（x）+5+

1

a

有三个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求切线方程，利用导数求出方程的斜率，然后利用点斜式求得；
（Ⅱ）判断函数的单调性，利用导数与0的关系，因为含有参数a，需要进行分类讨论；
（Ⅲ）函数h(x)=g(x)+5+

1

a

有三个不同的零点等价于

[h(x)]极大＞0 [h(x)]极小＜0

，根据函数的单调性，求出极值，问题得以解决．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-2x+2lnx，
∴f′(x)=2x-2+

2

x

=

2(x2-x+1)

x

，
∴k=f'（1）=2，f（1）=-1，
设切线方程为y-f（1）=k（x-1），
代入切线方程，化简得：y=2x-3；
（Ⅱ）∵函数f（x）=ax²-2ax+2lnx，g（x）=f（x）-2x，
∴g（x）=f（x）-2x=ax²-2（a+1）x+2lnx
∴g′(x)=2ax-2(a+1)+

2

x

=

2ax2-2(a+1)x+2

x

=

2a(x-1)(x- 1 a )

x

，（x＞0）
∵x＞0，a＞0，由(x-1)(x-

1

a

)=0⇒x1=

1

a

，x2=1，
①当0＜a＜1时，

1

a

＞1
在区间(0，1)，(

1

a

，+∞)上g'（x）＞0，在区间(1，

1

a

)上g'（x）＜0
∴函数g（x）的单调递增区间是(0，1)，(

1

a

，+∞)，
单调递减区间是(1，

1

a

)，
②当a＞1时，0＜

1

a

＜1，在区间(0，

1

a

)，(1，+∞)上g'（x）＞0，在区间(

1

a

，1)上g'（x）＜0
∴函数g（x）的单调递增区间是(0，

1

a

)，(1，+∞)，
单调递减区间是(

1

a

，1)．
③当a=1时，g'（x）≥0恒成立，故函数g（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
（Ⅲ）∵h（x）与g（x）的单调性相同，当a＞1，由（Ⅱ）②可知：
函数h(x)=g(x)+5+

1

a

有三个不同的零点等价于

[h(x)]极大＞0 [h(x)]极小＜0

，
又

[h(x)]极大=h( 1 a ) [h(x)]极小=h(1)

，
∴

h( 1 a )=3+2ln 1 a ＞0 h(1)=3+ 1 a -a＜0

∴

1＜a＜e 3 2 3+ 13 2 ＜a

⇒

3+ 13

2

＜a＜e

3

2

．

点评：本题考查导数的几何意义、导数的应用，分类讨论、数形结合思想，较难题．