Question

已知函数f（x）=

3x，x≥0 πx，x＜0

，若对任意x∈[-1-a，a-1]，不等式f（

2

x-a）≥[f（x）]²恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数指数函数单调性的性质，将不等式进行转化，即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=

3x，x≥0 πx，x＜0

，
∴当x≥0时，不等式f（

2

x-a）≥[f（x）]²恒成立等价为3

2

x-a≥(3x)2=32x成立，即

2

x-a≥2x，x≤

1

2 -2

a=-

2+ 2

2

a成立，
当x＜0时，不等式f（

2

x-a）≥[f（x）]²恒成立等价为π

2

x-a≥(πx)2=π2x成立，即

2

x-a≥2x，x≤

1

2 -2

a=-

2+ 2

2

a成立，
综上当x∈[-1-a，a-1]，x≤-

2+ 2

2

a成立，
即

a-1≥-1-a a-1≤- 2+ 2 2 a

，
即

a≥0 a≤ 2 4+ 2 = 4- 2 7

，
即0≤a≤

4- 2

7

，
当a=0时，定义域为{-1}，此时f（

2

x-a）=f（-

2

）无意义，
∴a≠0，
即0≤a≤

4- 2

7

，
故答案为：（0，

4- 2

7

）．

点评：本题主要考查不等式的恒成立问题，利用指数函数的单调性的性质是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．