Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos（π-2x）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[

π

4

，

3π

4

]上的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用同角三角函数关系和两角和公式对函数解析式化简，进而根据三角函数的性质求得其最小正周期和递增区间．
（Ⅱ）根据x的范围确定2x-

π

4

的范围，继而根据正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）²+cos（π-2x）
=1+sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

）+1
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
当2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ（k∈Z）时，函数单调增．
∴f（x）的单调增区间是[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴

π

4

≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
∴0≤

2

sin（2x-

π

4

）+1≤

2

+1
∴f（x）函数在区间[

π

4

，

3π

4

]上的取值范围为[0，

2

+1]．

点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换的运用和三角函数的基本性质．对于三角函数的题型采用数形结合的思想往往收到事半功倍的效果．