Question

设f_n（x）=sin（

nπ

2

+x）（n∈N^*），若△ABC的内角A满足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₄（A）=0，则sinA+cosA=

 

．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：分别取n=1，2，3，4，5求得f_n（x），发现函数周期性出现的规律，再由f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₄（A）=0得到cosA-sinA=0，求出角A的值，则答案可求．

解答： 解：由f_n（x）=sin（

nπ

2

+x），得：
f1(x)=sin(

π

2

+x)=cosx，
f₂（x）=sin（π+x）=-sinx，
f3(x)=sin(

3π

2

+x)=-cosx，
f₄（x）=sin（2π+x）=sinx，
f5(x)=sin(

5π

2

+x)=cosx，
…
f_n（x）周期出现，周期为4，
由f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₄（A）=0，得：
cosA-sinA=0，即tanA=1，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

4

．
∴sinA+cosA=sin

π

4

+cos

π

4

=

2

2

+

2

2

=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查利用三角函数的诱导公式化简求值，解答此题的关键在于发现函数具备周期性，是中档题．