Question

△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知acosB+bcosA+2ccosC=0，则cosA-cosB的值的范围是

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：利用正弦定理把a，b，c转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简进而求得cosA的值，求得A，然后对cosA-cosB进行和差化积，整理可得关于sin

A-B

2

的表达式，根据A，
B的范围求得答案．

解答： 解：∵acosB+bcosA+2ccosC=0，
∴sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosC
∴sin（A+B）=-2sinCcosC，
∴sinC=-2sinCcosC，
∵sinC≠0
∴cosC=-

1

2

∴∠C=

2π

3

，
∴∠A+∠B=

π

3

∴cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

=-sin

A-B

2

，
∵∠A+∠B=

π

3

∴0＜∠A＜

π

3

，0＜∠B＜

π

3

，
∴-

π

3

＜∠A-∠B＜

π

3

∴-

3

2

＜sin

A-B

2

＜

3

2

，
∴-

3

2

＜-sin

A-B

2

＜

3

2

，
即cosA-cosB的范围为（-

3

2

，

3

2

）．
故答案为：（-

3

2

，

3

2

）

点评：本题主要考查了正弦定理的运用．解题的关键是利用正弦定理把问题转化为三角函数问题．