Question

曲线C是平面内到两条定直线x=0，y=0距离之和为8的点的轨迹．给出下列四个结论：
①曲线C关于y轴对称；            
②曲线C关于原点对称；
③曲线C上任意一点P在x轴上的投影点为P′，则|OP′|≤8；
④曲线C与x轴，y轴在第一象限内围成的图象的面积为16（3

2

-2）．
以上结论中正确的序号是

 

（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆,简易逻辑

分析：设曲线C上的动点P（x，y），由题意求得曲线C的方程，去绝对值后画出图形，数形结合可判断四个命题的真假．

解答： 解：设曲线C上的动点P（x，y），
由P到两条定直线x=0，y=0距离之和为8得：
|x|+|y|=8．
去绝对值得：

x+y=8  (x≥0，y≥0) x-y=8  (x≥0，y＜0) -x+y=8  (x＜0，y≥0) -x-y=8  (x＜0，y＜0)

，
∴曲线C的轨迹如图：

由图可知，曲线C关于y轴对称，命题①正确；
曲线C关于原点对称，命题②正确；
曲线C上任意一点P在x轴上的投影点为P′均落在线段AC上，
∴|OP′|≤8，命题③正确；
曲线C与x轴，y轴在第一象限内围成的图象的面积为S=

1

2

×8×8=32，命题④错误．
∴正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了轨迹方程的求法，解答的关键在于正确作出图形，是中档题．