Question

下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数（AQI）和“PM2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）24小时平均浓度的数据，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良．

日期编号	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
空气质量指数（AQI）	179	40	98	124	29	133	241	424	95	89
“PM2.5”24小时平均浓度（ug/m3）	135	5	80	94	80	100	190	387	70	66

（1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率；
（2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件M为“抽取的两个日期中，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75ug/m³”，求事件M发生的概率；
（3）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取3天，记ξ为“PM2.5”24小时平均浓度不超过75ug/m³的天数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）由表数据知，利用等可能事件概率的求法，即可估计该市当月某日空气质量优良的概率；
（2）确定由（1）知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75ug/m³，有编号为A₂、A₉、A₁₀，共3天，利用等可能事件概率的求法，求事件M发生的概率；
（3）由（1）知，ξ的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）由表数据知，10天中空气质量指数（AQI）小于100的日期有：
A₂、A₃、A₅、A₉、A₁₀共5天，------------------------------------------------（1分）
故可估计该市当月某日空气质量优良的概率P=

5

10

=

1

2

．------------------------------（3分）
（2）由（1）知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75ug/m³，有编号为A₂、A₉、A₁₀，共3天，-----------------------------------（4分）
故事件M发生的概率P（M）=

C 2 3

C 2 5

=

3

10

．---------------------------------------------（6分）
（3）由（1）知，ξ的可能取值为1，2，3．--------------------------------------------（7分）
且P（ξ=1）=

C 1 3 C 2 2

C 3 5

=

3

10

--------------------------------------------------------（8分）
P（ξ=2）=

C 2 3 C 1 2

C 3 5

=

3

5

-----------------------------------------------------------（9分）
P（ξ=3）=

C 3 3

C 3 5

=

1

10

，-----------------------------------------------------------（10分）
故ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P（ξ）	3 10	3 5	1 10

--------------------------------------------------------（11分）
ξ的数学期望Eξ=1×

3

10

+2×

3

5

+3×

1

10

=

9

5

．-------------------------------------（12分）

点评：本题考查等可能事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．