Question

（理普）函数f（x）=a（x²-1）-lnx（a∈R）．
（1）若y=f（x）在x=2处取得极小值，求实数a的值；
（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）函数在极值点处导数为0，即可求实数a的值；
（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分类讨论，求导数，利用函数的单调性，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为(0，+∞)，f′(x)=2ax-

1

x

．
因为f（x）在x=2处取得极小值，所以f'（2）=0，即a=

1

8

．
此时，经检验x=2是f（x）的极小值点，故a=

1

8

．
（2）因为f′(x)=2ax-

1

x

，
①当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以当x＞1时，f（x）＜f（1）=0矛盾．
②当a＞0时，f′(x)=

2ax2-1

x

，令f'（x）＞0，得x＞

1

2a

；f'（x）＜0，得0＜x＜

1

2a

；
（ⅰ）当

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

时，x∈(1，

1

2a

)时，f'（x）＜0，即f（x）递减，所以f（x）＜f（1）=0矛盾．
（ⅱ）当

1

2a

≤1，即a≥

1

2

时，x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0，即f（x）递增，所以f（x）≥f（1）=0满足题意．
综上，a≥

1

2

．

点评：本题考查导数在极值点处的值为0，考查恒成立问题的解决方法，属于中档题．