Question

9．在平面直角坐标系式xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），已知（1，e）和（e，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₂的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）都在椭圆上，列式求解．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=4，得x₁x₂+y₁y₂+x₁+x₂+1=0，设直线l的方程为x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}{+y}^{2}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，可得（m²+2）y+2my-1=0．x₁+x₂+x₁x₂+y₁y₂+1=2m（y₁+y₂）+（m²+1）y₁y₂+4=2m×$\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$+（m²+1）×$\frac{-1}{{m}^{2}+2}+4$=0，m=$±\sqrt{7}$．即可求出直线方程．

解答 （1）解：由题设知a²=b²+c²，e=$\frac{c}{a}$，由点（1，e）在椭圆上，得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}=1$，
，∴b=1，c²=a²-1．
由点（e，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在椭圆上，得$\frac{{e}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}=1}$，即$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{4}}+\frac{3}{4}=1$，解得a=2．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（2）由（1）得F₁（-1，0），F₂（1，0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
$\overrightarrow{{PF}_{2}}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}Q}=（{x}_{2}+1，{y}_{2}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}=（2，0）$，$\overrightarrow{Q{F}_{2}}=（1-{x}_{2}，-{y}_{2}）$
且$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=4，∴x₁x₂+y₁y₂+x₁+x₂+1=0
当直线l的斜率为0 时，不符合题意，∴设直线l的方程为x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}{+y}^{2}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，可得（m²+2）y+2my-1=0．
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{{m}^{2}+2}$
x₁+x₂+x₁x₂+y₁y₂+1=2m（y₁+y₂）+（m²+1）y₁y₂+4=2m×$\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$+（m²+1）×$\frac{-1}{{m}^{2}+2}+4$=0
m=$±\sqrt{7}$．
∴直线l的方程为：x=$±\sqrt{7}y+1$

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．