Question

19．为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理、化学分数（折算成百分制）事实上对应如表：

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学分数x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分数y	72	77	80	84	88	90	93	95
化学分数z	67	72	76	80	84	87	90	92

（1）若规定80分以上为优秀，请填写如下2×2列联表，问是否有90%的把握认为是否优秀与科目有关；

	优秀	不优秀	合计
数学
物理
合计

（2）用变量y与x，z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
（3）求y与x，z与x的线性回归方程（系数精确到0，01），当某位同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的成绩．
参考公式：相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}•\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$，
回归直线方程是：$\widehat{y}$=bx+a，其中b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，
参考数据：$\overline{x}$=77.5，$\overline{y}$=85，$\overline{z}$=81，$\sum_{i=1}^{8}$（x_i-$\overline{x}$）²≈1050，$\sum_{i=1}^{8}$（y_i-$\overline{y}$）²≈456，$\sum_{i=1}^{8}$（z_i-$\overline{z}$）²≈550，≈688，$\sum_{i=1}^{8}$（x_i-$\overline{x}$）（z_i-$\overline{z}$）≈755，$\sqrt{1050}$≈32.4，$\sqrt{456}$≈21.4，$\sqrt{550}$≈23.5．

Answer 1

分析 （1）求出相关系数判断即可；
（2）变量y与x、z与x的相关系数，得出物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关；
（3）求出y与x、z与x的线性回归方程，由此计算x=50时y与z的值即可．

解答 解：（1）k²=$\frac{16{×（4×2-6×4）}^{2}}{10×6×8×8}$=$\frac{16}{15}$≈1.067＜2.0706，
故没有90%的把握认为是否优秀与科目有关；
2×2列联表如图所示：

	优秀	不优秀	合计
数学	4	4	8
物理	6	2	8
合计	10	6	16

（2）变量y与x、z与x的相关系数分别是：
r=$\frac{688}{32.4×21.4}$≈0.99、r′=$\frac{755}{32.4×23.5}$≈0.99，
可以看出：物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关；
（3）设y与x、z与x的线性回归方程分别是$\widehat{y}$=bx+a、$\widehat{z}$=b′x+a′，
根据所给的数据，计算出：
b=$\frac{688}{1050}$=0.66，a=85-0.66×77.5=33.85，
b′=$\frac{755}{1050}$=0.72，a′=81-0.72×77.5=25.20，
所以y与x、z与x的回归方程分别是$\widehat{y}$=0.66x+33.85、$\widehat{z}$=0.72x+25.20…，
当x=50时，$\widehat{y}$=66.85，$\widehat{z}$=61.2，
∴当该生的数学为50分时，其物理、化学成绩分别约为66.85分、61.2分．

点评 本题考查了古典概型的概率与线性回归方程的应用问题，是中档题．