Question

18．如图，已知正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直）ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为3，侧棱长为4，连结A₁B，过A作AF⊥A₁B垂足为F，且AF的延长线交B₁B于E．
（Ⅰ）求证：AE⊥D₁B；
（Ⅱ）求三棱锥B-AEC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出A₁D₁⊥AE，AE⊥A₁B，从而AE⊥平面A₁D₁B，由此能证明AE⊥D₁B．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，三棱锥B-AEC的体积V_B-AEC=V_E-ABC，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直）
ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，
AE?平面ABB₁A₁，
∴A₁D₁⊥AE，
∵过A作AF⊥A₁B垂足为F，且AF的延长线交B₁B于E，∴AE⊥A₁B，
∵A₁D₁∩A₁B=A₁，∴AE⊥平面A₁D₁B，
∵D₁B?平面A₁D₁B，∴AE⊥D₁B．
解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，
DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（3，0，0），B（3，3，0），A₁（3，0，4），
设E（3，3，t），
$\overrightarrow{AE}$=（0，3，t），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，3，-4），
∵AE⊥A₁B，∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}B}$=9-4t=0，解得t=$\frac{9}{4}$，
∴BE=$\frac{9}{4}$，
∴三棱锥B-AEC的体积：
V_B-AEC=V_E-ABC=$\frac{1}{3}×BE×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×BE×（\frac{1}{2}×AB×BC）$
=$\frac{1}{3}×\frac{9}{4}×\frac{1}{2}×3×3$=$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．