Question

已知向量

m

=（

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，cosx），

p

=（2

3

，1），且cosx≠0．
（Ⅰ）若

m

∥

p

，求

m

•

n

的值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，且f(x)=

m

•

n

，求函数f（A）的值域．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）若

m

∥

p

，得

3 sinx

cosx

=

2 3

1

，求出tanx=2，

m

•

n

=

3

sinxcosx+cos²x，转化为关于tanx的式子求解．
（2）（Ⅱ）△ABC中，

cosB

cosC

=-

b

2a+c

=-

sinB

2sinA+sinC

，2sinAcosB=-（cosBsinC+sinBcosC）=-sin（B+C）=-sinA求出B，又f(x)=

3

sinxcosx+cosxcosx=

3 sin2x

2

+

1+cos2x

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．代入f（A）的式子求解，转化为三角变换．

解答： 解：（Ⅰ）若

m

∥

p

，得

3 sinx

cosx

=

2 3

1

sinx=2cosx，
因为cosx≠0，所以tanx=2，
所以

m

•

n

=

3

sinxcosx+cos2x=

3 sinxcosx+cos2x

sin2x+cos2x

=

3 tanx+1

tan2x+1

=

2 3 +1

5

，
（Ⅱ）∵△ABC中，

cosB

cosC

=-

b

2a+c

=-

sinB

2sinA+sinC

2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC
∴2sinAcosB=-（cosBsinC+sinBcosC）=-sin（B+C）=-sinA
又sinA＞0得：cosB=-

1

2

，因为0＜B＜π，所以B=

2π

3

．则0＜A＜

π

3

．
又f(x)=

3

sinxcosx+cosxcosx=

3 sin2x

2

+

1+cos2x

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．
所以f(A)=sin(2A+

π

6

)+

1

2

(0＜A＜

π

3

)
因为A∈(0，

π

3

)，所以2A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，所以sin(2A+

π

6

)∈(

1

2

，1]，
所以f(A)∈(1，

3

2

]，即函数f（A）的值域为(1，

3

2

]．

点评：本题综合考查了向量和三角函数的结合的题目，难度属于中等，计算化简容易出错，做题要仔细．