Question

下列命题正确的是（　　）
①任何一个函数的定义域皆非空．
②直线x=a与函数f（x）图象有且仅有一个公共点．
③

n	5n

表示5的n次方根．
④若函数f（x）没有最大值，则f（x）一定趋近于+∞．
⑤若函数f（x）在[-1，0]单调递增且在[0，1]单调递增，则函数f（x）在[-1，1]一定单调递增．

• A、①⑤
• B、①③⑤
• C、①②③④
• D、①②④⑤

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：由函数的定义可知，函数的定义域和值域均为非空数集，即可判断①；
可举反例：直线x=1和函数y=

x-2

的图象没有交点，即可判断②；
由n次方根的定义即可判断③；比如函数y=x，x∈（1，2），没有最大值，且f（x）→2，即可判断④；
由于f（0）存在且唯一，由单调性的定义，即可得到函数f（x）在[-1，1]一定单调递增，进而判断⑤．

解答： 解：对于①，由函数的定义可知，函数的定义域和值域均为非空数集，故①对；
对于②，直线x=a与函数f（x）图象至多一个公共点，比如：直线x=1和函数y=

x-2

的图象没有交点，故②错；
对于③，

n	5n

表示5ⁿ的n次方根，故③错；
对于④，比如函数y=x，x∈（1，2），没有最大值，且f（x）→2，故④错；
对于⑤，函数f（x）在[-1，0]单调递增且在[0，1]单调递增，由于f（0）存在且唯一，
由单调性的定义，即可得到函数f（x）在[-1，1]一定单调递增，故⑤对．
故选A．

点评：本题考查函数的概念和性质，考查函数的最值和定义域及单调性，同时考查函数的图象，属于基础题和易错题．