Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，满足a_n+2=

5

3

an+1-

2

3

an，则数列{a_n}的通项公式a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得{a_n+1-a_n}是首项为3，公比为

2

3

的等比数列，从而a_n+1-a_n=3×（

2

3

）^n-1，由此利用累加法能求出数列{a_n}的通项公式a_n．

解答： 解：∵a_n+2=

5

3

an+1-

2

3

an，
∴3a_n+2=5a_n+1-2a_n，
∴3（a_n+2-a_n+1）=2（a_n+1-a_n），
∴

an+2-an+1

an+1-an

=

2

3

，
又a₂-a₁=3，
∴{a_n+1-a_n}是首项为3，公比为

2

3

的等比数列，
∴a_n+1-a_n=3×（

2

3

）^n-1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3[1+

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-2]
=1+3×

1-( 2 3 )n-1

1- 2 3

=1+9[1-（

2

3

）^n-1]
=10-9•(

2

3

)n-1．
故答案为：10-9•(

2

3

)n-1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．