Question

已知曲线ax²+by²=12的两条动弦MA，MB所在直线的斜率分别为k₁，k₂．
（1）已知a=b=3且A（-2，0），B（2，0），试证明：k₁k₂为定值．
（2）已知a=3，b=4．
（i）若A（-2，0），B（2，0），试判断k₁k₂是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（ii）若定点M（1，-

3

2

）且k₁k₂=

3

4

，试判断直线AB是否过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）写出曲线为x²+y²=4，设M（m，n），则m²+n²=4，运用直线的斜率的公式，即可得到；
（2）（i）设M（m，n），则3m²+4n²=12，运用直线的斜率的公式，即可得到；
（ii）设直线AB：y=kx+t，联立直线AB和椭圆方程3x²+4y²=12，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理，再求出y₁y₂，y₁+y₂，由直线的斜率公式，再化简整理，并分解因式，即可得到k，t的关系，再由直线方程即可判断是否过定点．

解答： 解：（1）由于a=b=3且A（-2，0），B（2，0），则曲线为x²+y²=4，
设M（m，n），则m²+n²=4，即n²=4-m²，
k₁k₂=

n

m+2

•

n

m-2

=

n2

m2-4

=-1；
（2）（i）由于A（-2，0），B（2，0），设M（m，n），
则3m²+4n²=12，即有n²=

3(4-m2)

4

，
k₁k₂=

n

m+2

•

n

m-2

=

n2

m2-4

=-

3

4

．
（ii）设直线AB：y=kx+t，联立直线AB和椭圆方程3x²+4y²=12，
消去y，得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-12=0，
则判别式为64k²t²-4（3+4k²）（4t²-12）＞0，即有t²-3-4k²＜0，
x₁+x₂=-

8kt

3+4k2

，x₁x₂=

4t2-12

3+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x1x₂+kt（x₁+x₂）+t²，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t，
由于定点M（1，-

3

2

）且k₁k₂=

3

4

，
则

y1+ 3 2

x1-1

•

y2+ 3 2

x2-1

=

3

4

，
即有（3-4k²）x₁x₂-（3+4kt+6k）（x₁+x₂）-6-4t²-12t=0，
即有（3-4k²）

4t2-12

3+4k2

+（3+4kt+6k）

8kt

3+4k2

-6-4t²-12t=0，
化简整理得，（2k-3）（2k+3+2t）=0，
则有k=

3

2

或t=-k-

3

2

，
当k=

3

2

时，代入判别式得，t²-3-4k²=t²-12＜0，解得-2

3

＜t＜2

3

，
直线AB为y=

3

2

x+t是平行直线系，不过定点；
当t=-k-

3

2

时，代入判别式得-3（k+

1

2

）²＜0，成立，
则有直线AB：y=kx-k-

3

2

，即y=k（x-1）-

3

2

，
则直线AB恒过定点（1，-

3

2

）与已知M重合，矛盾，故不成立．
故直线AB不过一定点．

点评：本题考查圆、椭圆的方程和运用，考查直线的斜率公式和直线方程的运用，考查联立椭圆方程和直线方程，消去未知数，运用韦达定理解题和判别式大于0，考查化简和整理的运算能力，有一定的综合性，属于难题．