Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=3a_n-3（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=

an

log  3 2 an

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）当n=1时，a₁=S₁=3a₁-3，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为2a_n=3a_n-1，利用等比数列的通项公式可得an=(

3

2

)n．利用对数的运算法则可得b_n=

1

n

•(

3

2

)n．
（II）由（I）可得

1

bn

=n•(

2

3

)n．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）当n=1时，a₁=S₁=3a₁-3，解得a₁=

3

2

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3-（3a_n-1-3），
化为2a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，∴an=(

3

2

)n．
∴b_n=

an

log  3 2 an

=

( 3 2 )n

log 3 2 ( 3 2 )n

=

1

n

•(

3

2

)n．
（II）

1

bn

=n•(

2

3

)n．
∴数列{

1

bn

}的前n项和T_n=1×

2

3

+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+…+n×(

2

3

)n，

2

3

Tn=(

2

3

)2+2×(

2

3

)3+…+(n-1)×(

2

3

)n+n×(

2

3

)n+1，
∴

1

3

Tn=

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-n×(

2

3

)n+1=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n×(

2

3

)n+1=2-3×(

2

3

)n+1，
∴T_n=6-9(

2

3

)n+1．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算法则、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．