Question

在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若向量

OA

=（a，3，4a-1），

OB

=（2-3a，2a+1，3），a∈R，且M是线段AB的中点，则|

OM

|的最小值是

 

．

Answer 1

考点：空间向量的数量积运算

专题：空间向量及应用

分析：因为M是线段AB的中点，所以

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)，求出其坐标，利用向量的平方对于其模的平方得到关于a的代数式求最小值．

解答： 解：∵M是线段AB的中点，向量

OA

=（a，3，4a-1），

OB

=（2-3a，2a+1，3），
∴

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)=（1-a，a+2，2a+1），
∴|

OM

|=

(1-a)2+(a+2)2+(2a+1)2

=

6a2+6a+6

=

6

(a+ 1 2 )2+ 3 4

；
∴当a=-

1

2

时，|

OM

|的最小值为

6

×

3 4

=

3 2

2

；
故答案为：

3 2

2

．

点评：本题考查了空间向量与二次函数相结合的问题；考查了向量的加减运算及向量的模的运算，属于基础题．