题目内容
数列{an}的通项an=n（cos2
-sin2
），其前n项和为Sn，则S2010为 ．
| nπ |
| 2 |
| nπ |
| 2 |
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：根据余弦的二倍角公式化简an，分别求出a1、a2、a3、a4，找出规律可得a2k-1+a2k=1，再求出S2010的值．
解答：
解：由题意得，an=n（cos2
-sin2
）=ncosnπ，
当n=1时，a1=cosπ=-1；当n=2时，a2=2cos2π=2；
当n=3时，a3=3cos3π=-3；当n=4时，a4=4cos4π=4；
所以当n=2k-1（k∈N+）时，an+an+1=a2k-1+a2k=-（2k-1）+2k=1，
所以S2010=a1+a2+a3+a4+…+a2009+a2010=1005，
故答案为：1005．
| nπ |
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| 2 |
当n=1时，a1=cosπ=-1；当n=2时，a2=2cos2π=2；
当n=3时，a3=3cos3π=-3；当n=4时，a4=4cos4π=4；
所以当n=2k-1（k∈N+）时，an+an+1=a2k-1+a2k=-（2k-1）+2k=1，
所以S2010=a1+a2+a3+a4+…+a2009+a2010=1005，
故答案为：1005．
点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式、并项求和方法的应用，解题的关键是发现数列相邻的奇数项与偶数项的和为定值．
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