Question

高为

2

的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，底面ABCD的中心为O₁，外接球的球心为O，则异面直线SO₁与AB所成的最小角的余弦值为（　　）

• A、

  2

  4

• B、

  2

  3

• C、

  10

  10

• D、

  3

  3

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间角

分析：由题意可知ABCD是小圆，对角线长为

2

，四棱锥的高为

2

，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心O₁与顶点S之间的距离，取BC的中点M，连接SM，O1M，∠SO₁M或补角是异面直线SO₁与AB所成的角，运用余弦定理即可求得．

解答： 解：由题意可知ABCD是正方形，对角线长为

2

，四棱锥的高为

2

，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面，最长的侧棱就是直径，
所以底面ABCD的中心O₁与顶点S之间的距离为：

( 2 )2+( 2 2 )2

=

10

2

．
取BC的中点M，连接SM，O₁M，
∠SO₁M或补角是异面直线SO₁与AB所成的角，
SO₁=

10

2

，O₁M=

1

2

，SM=

SA2+ 1 4 +1

=

13

2

，
由余弦定理得cos∠SO₁M=

10 4 + 1 4 - 13 4

2× 10 2 × 1 2

=-

10

10

．
故异面直线SO₁与AB所成的最小角的余弦值为

10

10

．
故选：C．

点评：本题是中档题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查空间异面直线所成的角，以及逻辑推理能力，计算能力．