Question

在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

  （t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=

2

cos（θ+

π

4

）．
（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；
（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：计算题,直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．
（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．

解答： 解：（1）直线I的参数方程为

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

  （t为参数），消去t，
可得，3x+4y+1=0；
由于ρ=

2

cos（θ+

π

4

）=

2

（

2

2

cosθ-

2

2

sinθ），
即有ρ²=ρcosθ-ρsinθ，则有x²+y²-x+y=0，其圆心为（

1

2

，-

1

2

），半径为r=

2

2

，
圆心到直线的距离d=

| 3 2 -2+1|

9+16

=

1

10

，
故弦长为2

r2-d2

=2

1 2 - 1 100

=

7

5

；
（2）可设圆的参数方程为：

x= 1 2 + 2 2 cosθ y=- 1 2 + 2 2 sinθ

（θ为参数），
则设M（

1

2

+

2

2

cosθ，-

1

2

+

2

2

sinθ），
则x+y=

2

2

cosθ+

2

2

sinθ=sin（θ+

π

4

），
由于θ∈R，则x+y的最大值为1．

点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．