题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1、F2分别是椭圆E：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AF2 |
| F2B |
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）根据椭圆的方程，条件可得：a+c=5（a-c），化简得2a=3c，求出离心率．
（2）求得椭圆E的方程为
+
=1，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为x=
y+1，代入椭圆方程
+
=1．整理得
y2+
y-4=0，运用韦达定理，整体求解即可，
（2）求得椭圆E的方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
| x1-1 |
| y1 |
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
| 5-x1 | ||
|
| x1-1 |
| y1 |
解答：
解：（1）∵已知F1、F2分别是椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，且
=5
．．
∴a+c=5（a-c），化简得2a=3c，
故椭圆E的离心率为
．
（2）存在满足条件的常数λ，λ=-
．
∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，b=
，
左焦点F1（-2，0），椭圆E的方程为
+
=1．
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为x=
y+1，
代入椭圆方程
+
=1．整理得
y2+
y-4=0，
∵y1+y3=
，∴y3=
．
从而x3=
，故点P（
，
）．同理，点Q（
，
）
∵三点M、F1、N共线，∴
=
，从而x1y2-x2y1=2（y1-y2）．
从而k2=
=
=
=
．
故k1-
=0，从而存在满足条件的常数λ=-
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AF2 |
| F2B |
∴a+c=5（a-c），化简得2a=3c，
故椭圆E的离心率为
| 2 |
| 3 |
（2）存在满足条件的常数λ，λ=-
| 4 |
| 7 |
∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，b=
| 5 |
左焦点F1（-2，0），椭圆E的方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为x=
| x1-1 |
| y1 |
代入椭圆方程
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
| 5-x1 | ||
|
| x1-1 |
| y1 |
∵y1+y3=
| y1(x1-1) |
| x1-5 |
| 4y1 |
| x1-5 |
从而x3=
| 5x1-9 |
| x1-5 |
| 5x1-9 |
| x1-5 |
| 4y1 |
| x1-5 |
| 5x2-9 |
| x2-5 |
| 4y2 |
| x2-5 |
∵三点M、F1、N共线，∴
| y1 |
| x1+2 |
| y2 |
| x2+2 |
从而k2=
| y3-y4 |
| x3-x4 |
| y1y2-x2y1+5(y1-y2) |
| 4(x1-x2) |
| 7(y1-y2) |
| 4(x1-x2) |
| 7k1 |
| 4 |
故k1-
| 4k2 |
| 7 |
| 4 |
| 7 |
点评：本题考查了椭圆与直线的位置关系，综合考查了，方程，整体代入的方法，难度较大．
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