Question

11．已知函数f（x）=x²+$\frac{2{a}^{3}}{x}$+1．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=1平行，求a的值；
（Ⅱ）若0＜a＜2，求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函数的导数，由两直线平行的条件：斜率相等，可得切线的斜率，解方程可得a的值；
（Ⅱ）求得f（x）的导数，讨论a的范围，当0＜a≤1时，当1＜a＜2时，求得单调区间，即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²+$\frac{2{a}^{3}}{x}$+1的导数为f′（x）=2x-$\frac{2{a}^{3}}{{x}^{2}}$，
在点（1，f（1））处的切线与直线y=1平行，
可得2-2a³=0，解得a=1；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=2x-$\frac{2{a}^{3}}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{3}-{a}^{3}）}{{x}^{2}}$，
由x∈[1，2]，当0＜a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[1，2]递增，
可得f（x）的最小值为f（1）=2+2a³；
当1＜a＜2时，f（x）在[1，a）递减，在（a，2]递增，
即有f（x）在x=a处取得极小值，且为最小值1+a²+2a²=3a²+1．
综上可得，当0＜a≤1时，f（x）的最小值为2+2a³；
当1＜a＜2时，f（x）的最小值为3a²+1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，极值和最值，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．