Question

3．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

平均每天锻炼 的时间（分钟）	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）
总人数	20	36	44	50	40	10

将学生日均课外课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．
（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？

	课外体育不达标	课外体育达标	合计
男
女		20	110
合计

（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．
参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d．
参考数据：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （I）根据所给的数据列出列联表，再代入公式计算得出K²，与临界值比较即可得出结论；
（II）由题意，用频率代替概率可得出抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，由于X～B（3，$\frac{1}{4}$），由公式计算出期望与方差即可．

解答 解：列出列联表，

	课外体育不达标	课外体育达标	合计
男	60	30	90
女	90	20	110
合计	150	50	200

（Ⅰ）${K^2}=\frac{{200×{{（{60×20-30×90}）}^2}}}{150×50×90×110}=\frac{200}{33}≈6.060＜6.635$，（5分）
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（6分）
（Ⅱ）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，
∴X～B（3，$\frac{1}{4}$），（8分）
∴$E（X）=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}，D（X）=3×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$．                 （12分）

点评 本题考查独立性检验的运用及期望与方差的求法，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．