Question

2．曲线y=e^-x在点（x₀，$\frac{1}{e}$）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{2}{e}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，可得切线的斜率，可得切线的方程，求得x，y轴的截距，运用三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得e${\;}^{-{x}_{0}}$=$\frac{1}{e}$，解得x₀=1，
y=e^-x的导数为y′=-e^-x，
可得在点（1，$\frac{1}{e}$）处的切线斜率为-e^-1=-$\frac{1}{e}$，
即有切线的方程为y-$\frac{1}{e}$=-$\frac{1}{e}$（x-1）．
令x=0，可得y轴上的截距为$\frac{2}{e}$；
y=0可得x轴上的截距为2．
即有围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{e}$=$\frac{2}{e}$．
故答案为：$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题．