Question

已知圆F1：（x+1）²+y²=16，定点F2（1，0），动圆M过点F₂，且与圆F₁相内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）若过原点且倾斜角的余弦值为

2 5

5

的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，求△ABF₁的面积．

Answer 1

考点：轨迹方程,椭圆的定义

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出M的半径，依据题意列出关系MF₁+MF₂=4，可求轨迹C的方程．
（2）根据题意，直线的方程为y=

1

2

x，代入椭圆方程，可以求得A、B的坐标，即可求△ABF₁的面积．

解答： 解：（1）设圆M的半径为r．
因为圆过点F₂，且与圆F₁相内切，所以MF₂=r，
所以MF₁=4-MF₂，即：MF₁+MF₂=4，
所以点M的轨迹C是以F₁，F₂为焦点的椭圆，
其中2a=4，c=1，所以a=2，b=

3

，
所以曲线C的方程

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由题意，直线的方程为y=

1

2

x，代入椭圆方程可得y=±

3

2

，
∴△ABF₁的面积为2×

1

2

×1×

3

2

=

3

2

．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查转化思想，椭圆的定义，是中档题．