Question

已知集合A={x|x²-ax+a²-19=0}，B={x|x²-5x+6=0}，C={x|x²+2x-8=0}
（1）当A=B时，求实数a的值；
（2）当A∩C=∅，但A∩B≠∅时，求实数a的值．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：（1）根据A=B，利用二次方程根与系数的关系列出方程求出a的值；
（2）首先化简集合A，B，C，然后根据集合ABC三者之间的关系A∩B≠∅，A∩C=∅求出两个a的值，最后把a的值返回代入A中进行验证，舍去不满足题意的a的值．

解答： 解：（1）∵B={x|x²-5x+6=0}={2，3}且A=B，
∴2和3是方程 x²-ax+a²-19=0 的两个根，
∴2+3=a，
∴a=5；
（2）由B={x|x²-5x+6=0}，C={x|x²+2x-8=0}分别化简得：
B={2，3}，C={2，-4}．
根据A∩C=∅可得，2，-4均不是x²-ax+a²-19=0的根
而根据A∩B≠∅可得，2，3中至少一个为x²-ax+a²-19=0的根，
显然，3为x²-ax+a²-19=0的根，
将3代入x²-ax+a²-19=0可解得：
a=-2或a=5．
①将a=5代入集合A解得：A={2，3}，
而此时A∩C={2}≠∅，不满足题意，故舍去．
②将a=-2代入集合A解得A={3，-5}，
此时A∩B={3}≠∅，A∩C=∅，故满足题意．
∴故答案为-2．

点评：本题考查了交集及其运算，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．