Question

定义：min{a₁，a₂，a₃，…，a_n}表示a₁，a₂，a₃，…，a_n中的最小值．若定义f（x）=min{x，5-x，x²-2x-1}，对于任意的n∈N^*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n-1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：依题意，对n=1，2，3，4，5，6，…的情况分别进行讨论，得到规律，即可求得常数k的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=min{x，5-x，x²-2x-1}，
∴当n=1时，f（1）=-2，f（2）=-1；
∴f（1）+f（2）≤kf（1），即-3≤-2k，
解得：k≤

3

2

；
当n=2时，f（3）=min{3，5-3，3²-2×3-1}=2，f（4）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）≤kf（2），即-2-1+2+1≤k×（-1），
解得：k≤0；
当n=3时，f（5）=0，f（6）=-1，f（1）+f（2）+…+f（5）+f（6）=-1≤kf（3）=2k，
解得：k≥-

1

2

；
同理可得，当n=4时，f（7）=-2，f（8）=-3，依题意，可解得k≥-6；
当n=5时，f（9）=-4，f（10）=-5，同理解得k∈R；
当n=6时，f（11）=-6，f（12）=-7，依题意得k≤15；
…
∵对于任意的n∈N^*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n-1）+f（2n）≤kf（n）成立，
∴常数k的取值范围是[-

1

2

，0]．
故答案为：[-

1

2

，0]．

点评：本题考查数列的求和，着重考查对函数概念的理解与综合应用，突出考查分类讨论思想与运算能力，属于难题．