Question

设与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切的直线n：经过两点A（a，0），B（0，b），其中a＞2，b＞2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：计算题,不等式的解法及应用,直线与圆

分析：根据题意设出直线n的截距式方程，化简得bx+ay-ab=0．由直线n与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切，利用点到直线的距离公式列式并化简，得到ab-2a-2b+2=0，再利用基本不等式算出ab≥6+4

2

．最后根据三角形的面积公式加以计算，可得△AOB面积的最小值为3+2

2

．

解答： 解：∵直线n经过两点A（a，0）、B（0，b），
∴设直线n的方程为

x

a

+

y

b

=1，化简得bx+ay-ab=0．
∵直线n与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切，
∴圆心（1，1）到直线n的距离等于半径，即

|b+a-ab|

b2+a2

=1，
去分母，平方得（b+a-ab）²=a²+b²，即a²b²+2ab-2a²b-2ab²=0，
化简整理得ab-2a-2b+2=0，
∵a＞2且b＞2，∴a+b≥2

ab

，（当且仅当a=b时，等号成立）
由此可得ab+2=2（a+b）≥4

ab

，即ab-4

ab

+2≥0，
解之得

ab

≤2-

2

或

ab

≥2+

2

．
∵a＞2且b＞2，∴

ab

＞2，可得

ab

≥2+

2

，ab≥（2+

2

）²=6+4

2

，
又∵△AOB的面积S=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

ab，
∴当且仅当a=b时，△AOB的面积S的最小值S=

1

2

（6+4

2

）=3+2

2

．
故答案为：3+2

2

点评：本题给出与定圆相切的直线n，求n被坐标轴截得三角形面积的最小值，着重考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、不等式的解法与利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．