如图.在y轴的正半轴上依次有点A1.A2.-An.-.其中点A1(0.1).A2且|An-1An|=3|AnAn+1|.在射线y=x上一次有点B1.B2.-Bn.-.点B1(3.3).且|OBn|=|OBn-1|+22．(1)求点An.Bn的坐标．(2)设四边形AnBnBn+1An+1的面积为Sn.解答下列问题:①求数列{Sn}的通项公式,②问{Sn}中是否存在连续的三项Sn.Sn+1.Sn+2恰� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，在y轴的正半轴上依次有点A₁，A₂，…A_n，…，其中点A₁（0，1）、A₂（0，10）且|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|（n=2，3，4，…），在射线y=x（x≥0）上一次有点B₁，B₂，…B_n，…，点B₁（3，3），且|OBn|=|OBn-1|+2

2

（n=2，3，4，…）．
（1）求点A_n、B_n的坐标（用含n的式子表示）．
（2）设四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为S_n，解答下列问题：
①求数列{S_n}的通项公式；
②问{S_n}中是否存在连续的三项S_n，S_n+1，S_n+2（n∈N*）恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项；若不存在，请说明理由．

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|，及|A₁A₂|=9，结合等比数列的通项公式求得|A_nA_n+1|，结合等比数列的求和公式，可得|A₁A₂|+|A₂A₃|+…+|A_n-1A_n|，从而得出A_n的坐标；确定{|OB_n|}是以3

2

为首项，2

2

为公差的等差数列，可求B_n的坐标；
（2）①连接A_nB_n+1，设四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为S_n，则S_n=S△AnAn+1Bn+1+S△BnBn+1An；
②对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在不同的三项S_n，S_n+1，S_n+2（n∈N^*）恰好成等差数列，代入求出结果，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答： 解：（1）|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|，且|A₁A₂|=10-1=9，
∴|A_nA_n+1|=|A₁A₂|(

1

3

)n-1=9×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n-3．
∴|A₁A₂|+|A₂A₃|+…+|A_n-1A_n|=9+3+1+…+(

1

3

)n-4=

29

2

-

1

2

•(

1

3

)n-4，
∴A_n的坐标（0，

29

2

-

1

2

•(

1

3

)n-4），
∵|OB_n|-|OB_n-1|=2

2

（n=2，3，…）且|OB₁|=3

2

，
∴{|OB_n|}是以3

2

为首项，2

2

为公差的等差数列
∴|OB_n|=3

2

+（n-1）×2

2

=（2n+1）

2

，
∴B_n的坐标为（2n+1，2n+1）．
（2）①连接A_nB_n+1，设四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为S_n，
则S_n=S△AnAn+1Bn+1+S△BnBn+1An=

1

2

•（

1

3

）^n-3×（2n+3）+

1

2

•2

2

[

29

2

-

1

2

•(

1

3

)n-4]•

2

2

=

29

2

+

n

3n-3

．
②由S_n，S_n+1，S_n+2（n∈N^*）恰好成等差数列，可得2（

29

2

+

n+1

3n-2

）=

29

2

+

n

3n-3

+

29

2

+

n+2

3n-1

∴18（n+1）=27n+3（n+2），∴n=1，
∴存在连续的三项S₁，S₂，S₃恰好成等差数列．

点评：本题考查数列与函数的结合、等比数列的通项公式、等差关系的确定等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于难题．

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