Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+2n-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求

1

b3

+

1

b4

+

1

b5

+…+

1

bn

的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由已知条件能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n+1=b_n+2n-1，利用累加法能求出bn=n2-2n．
（3）由

1

bn

=

1

n2-2n

=

1

2

(

1

n-2

-

1

n

)，利用裂项求和法能求出

1

b3

+

1

b4

+

1

b5

+…+

1

bn

的值．

解答： 解：（1）∵Sn=3n，∴Sn-1=3n-1，(n≥2)，
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2•3^n-1，（n≥2）
当n=1时，a1=s1=3≠2×30，
∴a_n=

3，n=1 2•3n-1，n≥2

．
（2）∵b_n+1=b_n+2n-1
∴b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，…，b_n-b_n-1=2n-3
以上各式相加得：
b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）
=

(n-1)(1+2n-3)

2

=(n-1)2，
∵b₁=-1，∴bn=n2-2n．
（3）∵

1

bn

=

1

n2-2n

=

1

2

(

1

n-2

-

1

n

)（n≥3）
∴

1

b3

+

1

b4

+

1

b5

+…+

1

bn

=

1

2

(

1

3-2

-

1

3

+

1

4-2

-

1

4

+

1

5-2

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n-1

-

1

n

)=

3n2-7n+2

4n2-4n

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意累加法和裂项求和法的合理运用．