Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，把此梯形绕其直角边AD旋转120°得到如图所示的几何体，点G是∠BDF平分线上任意一点（异于点D），点M是弧

BF

的中点．
（Ⅰ）求证：BF⊥AG；
（Ⅱ）求三棱锥M-BDF的体积V_M-BDF．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接AM交BF于点O，证明AM⊥BF，DA⊥BF，可得BF⊥平面ADM，从而BF⊥AG；
（Ⅱ）利用V_M-BDF=V_D-BMF，求三棱锥M-BDF的体积V_M-BDF．

解答： （Ⅰ）证明：连接AM交BF于点O，则
∵点M是弧

BF

的中点，
∴AM⊥BF且O为BF的中点，
∵DB=DF，
∴DO平分∠BDF，即点G在直线DO上，
∵DA⊥AB，DA⊥AF，AB∩AF=A，
∴DA⊥平面ABF，
∴DA⊥BF，
∵DA∩AM=A，
∴BF⊥平面ADM，
∵AG?平面ADM，
∴BF⊥AG；
（Ⅱ）解：由已知，AB=2，∠BAM=60°，∠AOB=90°，
∴AO=OM=1，BF=2

3

，
∴S_△BMF=

1

2

BF•OM=

3

，
∴V_M-BDF=V_D-BMF=

1

3

•

3

•2=

2 3

3

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合问题，考查直线与平面垂直的判定与性质，考查三棱锥M-BDF的体积，属于中档题．