Question

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁，底面ABCD为菱形，∠ADC=120°，E为CC₁延长线上一点．
（1）当CE=2CC₁时，证明：A₁E∥平面B₁AD；
（2）是否存在实数λ，当CE=λCC₁时，使得平面EB₁D₁⊥平面A₁BD？若存在，求出λ的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出四边形AB₁C₁D是平行四边形，四边形AC₁EA₁是平行四边形，由此能证明A₁E∥平面B₁AD．
（2）以DC为x轴，DQ为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出当CE=

7

4

CC1时，能使得平面EB₁D₁⊥平面A₁BD．

解答： （1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，且ABCD是菱形，
∴B₁C₁∥A₁D₁，且B₁C₁=A₁D₁，AD∥A₁D₁且AD=A₁D₁，
∴B₁C₁∥AD且AD=B₁C₁，∴四边形AB₁C₁D是平行四边形，
∴A，B₁，C₁，D四点共面，
平面B₁AD与平面AB₁C₁D是同一个平面…（2分）
连结AC₁，∵A₁A∥CC₁且A₁A=CC₁，EC₁=CC₁，
∴EC₁∥A₁A，且EC₁=A₁A，…（4分）
∴四边形AC₁EA₁是平行四边形，∴A₁E∥AC₁，
又A₁E不包含于平面B₁AD，AC₁?平面B₁AD，
∴A₁E∥平面B₁AD．…（6分）
（2）解：取AB的中点Q，连接DQ，
∵∠ADC=120°，∴∠DAC=60°，
∴△DAB是正三角形，∴DQ⊥AB，AB∥DC，
∴DQ⊥DC，∴D₁D⊥平面ABCD，
从而D₁D，DC，DQ两两垂直，以DC为x轴，DQ为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示），设AB=2．…（7分）
则B（1，

3

，0），D（0，0，0），A1(-1，

3

，2)，B1(1，

3

，2)，
∴

DB

=(1，

3

，0)，

DA1

=(-1，

3

，2)，D₁（0，0，2），E（2，0，2λ）．

D1E

=(2，0，2λ-2)，

D1B1

=(1，

3

，0)．…（8分）
设平面A₁BD的法向量为

n

=(x，y，z)，
平面EB₁D₁的法向量为

m

=（a，b，c）．
则有

n • DA1 =-x+ 3 y+2z=0 n • DB =x+ 3 y=0

，
令x=1，得

n

=(1，-

3

3

，1)，…（10分）
由

m • D1E =2a+(2λ-2)c=0 m • D1B1 =a+ 3 b=0

，
令a=1，得

m

=(1，-

3

3

，

1

1-λ

)．…（11分）
∵平面EB₁D₁⊥平面A₁BD，∴

m

•

n

=0，
得1+(-

3

3

)×(-

3

3

)+

1

1-λ

=0，
解得：λ=

7

4

．…（13分）
故当CE=

7

4

CC1时，能使得平面EB₁D₁⊥平面A₁BD．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查使平面与平面垂直的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．