Question

已知函数f（x）=x³-ax²+x+1，g（x）=f′（x），x∈R
（Ⅰ）证明：对任意a∈R，存在x₀∈R，使得f（x），g（x）的图象在x=x₀处的两条切线斜率相等；
（Ⅱ）求实数a的范围，使得f（x），g（x）均在[2，+∞）上单调递增．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）证明：对任意a∈R，存在x₀∈R，使得f（x），g（x）的图象在x=x₀处的两条切线斜率相等；
（Ⅱ）根据函数的单调性和导数之间的关系，利用导数即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax²+x+1，
∴g（x）=f′（x）=3x²-2ax+1，
则g′（x）=6x-2a，
令f′（x₀）=g′（x₀），即3x₀²-2ax₀+1=6x₀-2a，
即3x₀²-（2a+6）x₀+2a+1=0，
则判别式△=（2a+6）²-12（2a+1）=4a²+24＞0．
即对任意a∈R，存在x₀∈R，使得f（x），g（x）的图象在x=x₀处的两条切线斜率相等；
（Ⅱ）∵g（x）=3x²-2ax+1，∴要使g（x）在[2，+∞）上单调递增，
则对称轴x=

a

3

≤2，即a≤6．
要使f（x）均在[2，+∞）上单调递增，
则f′（x）=3x²-2ax+1≥0，
即2a≤

3x2+1

x

=3x+

1

x

恒成立，
∴2a≤（3x+

1

x

）_min，
∵设h（x）=3x+

1

x

，x∈[2，+∞），
∴h′（x）=3-

1

x2

，
当x∈[2，+∞），h′（x）=3-

1

x2

＞0，
则h（x）的最小值为h（2）=6-

1

2

=

13

2

，
∴2a≤

13

2

，即a≤

13

4

，
故实数a的范围是（-∞，

13

4

]．

点评：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，要求熟练掌握导数的应用．