Question

7．一个多面体的直观图和三视图如图，M是A′B的中点，N是棱B′C′上任意一点（含顶点），对于下列结论：①当点N是棱B′C′中点时，MN∥平面ACC′A′；②MN⊥A′C；③三棱锥N-A′BC的体积$V=\frac{a^3}{6}$；④点M是多面体的球心．其中正确的是①②③④．

Answer 1

分析 本题是直观图和三视图的综合分析题，要抓住M是A′B的中点，N是棱B′C′上的任意一点（含顶点）就是动点，从三视图抓住直观图的特征，结合下情况分别判断即可得答案．

解答 解：①M连接AB中点E，N连接BC中点F，得到MNFE平行于平面ACC′A′，面面平行即可得到线面平行，故①正确；
②M连接A′C中点G，连接C′G，A′C⊥平面MNC′G．∴MN⊥A′C，故②正确；
③三棱锥N-A′BC的体积为${V}_{N-{A}^{′}BC}$=$\frac{1}{3}$•S_△BCA′•MB′=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$•CA′•BC•MB′=$\frac{{a}^{3}}{6}$，故③正确；
④由三视图可知：此多面体是正方体切割下来了的，M是A′B的中点（空间对角线中点），是正方体中心，∴点M是该多面体外接球的球心．故④正确．
∴正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了棱锥、棱柱、棱台的体积，考查了直观图和三视图的关系，通过三视图抓住直观图的特征，线面垂直的判定和性质，遇中点找中点的思想．考虑补形来确定球心．考查空间想象能力，是中档题．