Question

19．已知函数f（x）=a（x+$\frac{1}{x}$）-|x-$\frac{1}{x}$|（x＞0），a∈R．
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求y=f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，求实数a，t应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）将a=$\frac{1}{2}$代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；
（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f（x）的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}（x+\frac{1}{x}）-|{x-\frac{1}{x}}|=\left\{\begin{array}{l}\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}当\;0＜x≤1\;时\\ \frac{3}{2x}-\frac{x}{2}\;\;当\;x≥1\;时\end{array}\right.$，
（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，最大值为f（1）=1．
（2）当a≤1时，f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，不符合题意．
当a＞1时，f（x）在$（{0，\;\sqrt{\frac{a-1}{a+1}}}]$单调递减，$[{\sqrt{\frac{a-1}{a+1}}，\;1}]$单调递增；
在$[{1，\;\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}}]$单调递减，$[{\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}，\;+∞}）$单调递增；
$f（{\sqrt{\frac{a-1}{a+1}}}）=f（{\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}}）=2\sqrt{{a^2}-1}，\;f（1）=2a$，
所以实数a，t应满足的条件为，$2\sqrt{{a^2}-1}＜t＜2a，\;a＞1$．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，综合性强，转化困难，属于难题．