Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，

AQ

=λ

QB

，

AE

=μ

EB

．判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得

2b2 a =1 2b=a

，解得即可．
（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀）．与椭圆的方程联立化为（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，可得根与系数的关系，由

AQ

=λ

QB

，

AE

=μ

EB

．利用向量的线性运算即可得出．

解答： 解：（1）由题意可得

2b2 a =1 2b=a

，解得

a=2 b=1

，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀）．
联立

y=k(x+1) x2+4y2=4

，化为（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
△＞0．
x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

，（*）
∵

AQ

=λ

QB

，∴（-1-x₁，-y₁）=λ（x₂+1，y₂），可得-（x₁+1）=λ（x₂+1）．
得λ=-

x1+1

x2+1

．
由

AE

=μ

EB

，可得（-4-x₁，y₀-y₁）=μ（x₂+4，y₂-y₀），可得-（x₁+4）=μ（x₁+4），
得μ=-

x1+4

x2+4

．
∴λ+μ=-

(x1+1)(x2+4)+(x1+4)(x2+1)

(x2+1)(x2+4)

=-

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x2+1)(x2+4)

，
把（*）代入分子=

8k2-8

1+4k2

-

40k2

1+4k2

+8=0，
∴λ+μ=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．