题目内容
已知关于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0（a＞0）．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，…，α2010和β2010，α2011和β2011．试求（
+
+…+
+
）+（
+
+…+
+
）的值．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，…，α2010和β2010，α2011和β2011．试求（
| 1 |
| α1 |
| 1 |
| α2 |
| 1 |
| α2010 |
| 1 |
| α2011 |
| 1 |
| β1 |
| 1 |
| β2 |
| 1 |
| β2010 |
| 1 |
| β2011 |
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系
专题：函数的性质及应用
分析：（1）令f（x）=x2-2x-a2-a，由于f（2）=-a2-a＜0，可得这个方程f（x）=0的一根大于2，一根小于2．
（2）由条件利用韦达定理可得 α1+β1=1，α1•β1=-a2-a=-a（a+1）=-2；…，α2011+β2011=1，α2011•β2011=-2011×2012，而要求的式子即（
+
）+（
+
）+…+（
+
），即-[
+
+
+…+
]，再用裂项法进行求和．
（2）由条件利用韦达定理可得 α1+β1=1，α1•β1=-a2-a=-a（a+1）=-2；…，α2011+β2011=1，α2011•β2011=-2011×2012，而要求的式子即（
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| β1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| β2 |
| 1 |
| a2011 |
| 1 |
| β2011 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| 2011×2012 |
解答：
解：（1）证明：关于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0（a＞0），令f（x）=x2-2x-a2-a，
由于f（2）=-a2-a＜0，可得这个方程的一根大于2，一根小于2．
（2）由条件利用韦达定理可得 α1+β1=1，α1•β1=-a2-a=-a（a+1）=-2；α2+β2=1，α2•β2=-a2-a=-a（a+1）=-6；…，
α2010+β2010=1，α2010•β2010=-a2-a=-2010×2011，α2011+β2011=1，α2011•β2011=-2011×2012，
∴（
+
+…+
+
）+（
+
+…+
+
）=（
+
）+（
+
）+…+（
+
）
=
+
+…+
=-[
+
+
+…+
]=-[1-
+
-
+
-
+…+
-
]
=-（1-
）=-
．
由于f（2）=-a2-a＜0，可得这个方程的一根大于2，一根小于2．
（2）由条件利用韦达定理可得 α1+β1=1，α1•β1=-a2-a=-a（a+1）=-2；α2+β2=1，α2•β2=-a2-a=-a（a+1）=-6；…，
α2010+β2010=1，α2010•β2010=-a2-a=-2010×2011，α2011+β2011=1，α2011•β2011=-2011×2012，
∴（
| 1 |
| α1 |
| 1 |
| α2 |
| 1 |
| α2010 |
| 1 |
| α2011 |
| 1 |
| β1 |
| 1 |
| β2 |
| 1 |
| β2010 |
| 1 |
| β2011 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| β1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| β2 |
| 1 |
| a2011 |
| 1 |
| β2011 |
=
| α1+β1 |
| α1•β1 |
| α2+β2 |
| α2•β2 |
| α2011+β2011 |
| α2011•β2011 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| 2011×2012 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2011 |
| 1 |
| 2012 |
=-（1-
| 1 |
| 2012 |
| 2011 |
| 2012 |
点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，韦达定理以及用裂项法进行数列求和，体现了转化的数学思想，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知集合M={0，1，2，3}，N={x|x2-3x＜0}，则M∩N=（ ）
| A、{0} |
| B、{x|x＜0} |
| C、{x|0＜x＜3} |
| D、{1，2} |
设集合M={x|f（x）=0}，N={x|g（x）=0}，则集合P={x|f（x）•g（x）=0}一定（ ）
| A、等于M∩N |
| B、等于M∪N |
| C、等于 M或N |
| D、以上都不对 |
下列三视图表示的几何体是（ ）
| A、正六棱柱 | B、正六棱锥 |
| C、正六棱台 | D、正六边形 |
如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，ED=2设θ∈（
，π），则关于x，y的方程
+
=1所表示的曲线为（ ）
| 3π |
| 4 |
| x2 |
| sinθ |
| y2 |
| cosθ |
| A、长轴在y轴上的椭圆 |
| B、长轴在x轴上的椭圆 |
| C、实轴在y轴上的双曲线 |
| D、实轴在x轴上的双曲线 |