Question

已知α，β∈（0，

π

2

），α+β≠

π

2

，

a

=（sinα，sinβ）与

b

=（cos（α+β），-1），

a

⊥

b

，当tanβ取最大值时，求tan（α+β）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：先根据向量的垂直得到数量积等于0，利用三角函数的和差公式，化简整理得到tanβ=

sinαcosα

2sin2α+cos2α

，再利用基本不等式求出tanβ的最大值，再利用公式计算即可

解答： 解：∵α，β∈（0，

π

2

），
∴sinα＞0，cosα＞0，
∵

a

=（sinα，sinβ）与

b

=（cos（α+β），-1）垂直，
∴

a

•

b

=sinαcos（α+β）-sinβ=0，
∴sinαcosαcosβ-sin²αsinβ-sinβ=0，
即sinαcosαcosβ=sinβ（1+sin²α）=sinβ（cos²α+2sin²α），
∴tanβ=

sinαcosα

2sin2α+cos2α

≤sinαcosα×

1

2 2 sinαcosα

=

2

4

，当且仅当

2

sinα=cosα，即tanα=

2

2

是取等号，
∵tanβ取最大值时，
∴tanβ=

2

4

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2

点评：本题考查了向量垂直，三角函数的和差公式，切和弦的转化，基本不等式，培养了学生的转化能力，计算能力，应用能力，属于中档题