题目内容

已知f（x）=2cos2x+
3
sin2x+a，a∈R．
（1）若f（x）有最大值为2，求实数a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）先化简函数f（x）的解析式，根据已知即可求实数a的值；
（2）根据函数f（x）的解析式，根据正弦函数的图象和性质即可求出函数y=f（x）的单调区间．
解答： 解：（1）∵f（x）=2cos2x+
3
sin2x+a=1+cos2x+
3
sin2x+a=1+a+2sin（2x+
π
6
）
∵f（x）有最大值为2，2sin（2x+
π
6
）的最大值为2，
∴1+a=0，解得a=-1．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+
π
6
），
令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，可解得：kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈Z
令2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z，可解得：kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，k∈Z
∴函数y=f（x）的单调递增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈Z
函数y=f（x）的单调递减区间为[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]，k∈Z．
点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
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解关于x的不等式
ax-1
x-2
＞1（其中a≤1）
设（1+x）n=a0+a1x+…+anxn，若展开式中系数最大的项的系数是70，则a1+a2+‥‥+an=
 
．
已知cos（π-α）=
2
3
2
，α∈（-π，0）．求cos2（
π
4
-
α
2
）+sin（3π+
α
2
）+sin（
3
2
π-
α
2
）
已知α，β∈（0，
π
2
），α+β≠
π
2
，
a
=（sinα，sinβ）与
b
=（cos（α+β），-1），
a
⊥
b
，当tanβ取最大值时，求tan（α+β）
已知非零向量
a
，
b
夹角为θ，若
a
+
b
=（3，-6），
a
-
b
=（3，-2），则cosθ=
 
．
高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（　　）
A、36B、24C、18D、12
等差数列{an}的前n项和为Sn，如果S3=12，a3+a5=16，那么
1
S1
+
1
S2
+
1
S5
+
1
S4
+
1
S5
=
 
．
已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆
x2
25
+
y2
9
=1的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M（16，0）的直线与抛物线C相交于P，Q两点，求证：∠POQ=
π
2
．

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