题目内容

设x1，x2，x3∈（0，
π
2
），a=
1+sinx1
x1
，b=
1+sinx2
x2
，c=
1+sinx3
x3
，且x1＞x2＞x3，则a，b，c的大小关系为（　　）
A、a＞b＞c
B、c＞b＞a
C、b＞c＞a
D、大小不确定
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：计算题,导数的综合应用
分析：由题意，令f（x）=
1+sinx
x
，x∈（0，
π
2
）；求导得f′（x）=
xcosx-sinx-1
x2
；再令g（x）=xcosx-sinx-1；求导得g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx＜0；从而判断f（x）=
1+sinx
x
，x∈（0，
π
2
）的单调性，再比较大小．
解答： 解：令f（x）=
1+sinx
x
，x∈（0，
π
2
）；
则f′（x）=
xcosx-sinx-1
x2
；
令g（x）=xcosx-sinx-1；
则g′（x）=cosx-xsinx-cosx
=-xsinx＜0；
故g（x）=xcosx-sinx-1在（0，
π
2
）上是减函数，
故xcosx-sinx-1≤0cos0-sin0-1＜0，
故f′（x）＜0；
故f（x）=
1+sinx
x
在（0，
π
2
）上是减函数，
又∵x1＞x2＞x3，
∴
1+sinx1
x1
＜
1+sinx2
x2
＜
1+sinx3
x3
，
即a＜b＜c；
故选B．
点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）=sin（2x-
π
6
）在区间[0，
π
3
]的值域
 
．
已知α，β∈（0，
π
2
），α+β≠
π
2
，
a
=（sinα，sinβ）与
b
=（cos（α+β），-1），
a
⊥
b
，当tanβ取最大值时，求tan（α+β）
高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（　　）
A、36B、24C、18D、12
设f（x）=ex（x2+ax+1）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）如若x=1时，f（x）有极值，证明：当θ∈[0，
π
2
]时，f（cosθ）-f（sinθ）≤e．
等差数列{an}的前n项和为Sn，如果S3=12，a3+a5=16，那么
1
S1
+
1
S2
+
1
S5
+
1
S4
+
1
S5
=
 
．
若双曲线C：mx2-y2=1（m为常数）的一条渐近线与直线l：y=-3x-1垂直，则双曲线C的焦距为
 
．
已知下列命题：
①命题“?x∈R，x2+1＞3x”的否定是“?x∈R，x2+1＜3x”；
②已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；
③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；
④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是（　　）
A、①②③B、②④C、②D、④
已知函数f（x）=
-x，x＜0
x
，x≥0.
使关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根的充分不必要条件是（　　）
A、{a|a≥
1
2
}
B、{a|
1
2
＜a＜1}
C、{a|0＜a＜
1
2
}
D、{a|0＜a＜
1
4
}

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