Question

设f（x）是R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2^x-2x

1

2

；函数g（x）=ln（x+1）-

2

x

．则：
（1）函数g（x）的零点个数为

 

；
（2）若实数a是函数g（x）的正零点，则f（-2）与f（a）的大小关系为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分别画出分别画出y=ln（x+1）和y=

2

x

的图象，由图象可知，函数g（x）的零点个数为2个；
（2）由图象可知a∈（1，2）；再根据函数为偶函数，得到f（-2）=f（2），以及利用导数得到函数在（1，+∞）为增函数，问题得以解决．

解答： 解：（1）∵g（x）=ln（x+1）-

2

x

，
∴g（x）=ln（x+1）-

2

x

=0，
即ln（x+1）=

2

x

，
分别画出y=ln（x+1）和y=

2

x

的图象，
由图象可知，函数g（x）的零点个数为2个；
（2），函数g（x）的2个零点，其一在（-1，0）上，另一在（1，2）上，
∵实数a是函数g（x）的正零点，
∴a∈（1，2）；
对于f（x），在x≥0时，f（x）=2^x-2x

1

2

，
∴f′(x)=2xln2-

1

x

，
当x＞1时，f'（1）＞2ln2-1＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（a）＜f（2），
又函数f（x）为偶函数，
∴f（-2）=f（2）
∴f（a）＜f（-2）．
故答案为（1）2，（2）f（a）＜f（-2）

点评：本题主要考查了函数的零点问题以及函数的奇偶性和函数的单调性，以及数形结合的思想，属于中档题．