Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点 （

3

，

3

2

）到它的两个焦点的距离之和为4
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，设D（4，0），连接DB交椭圆于另一点F，证明直线AE恒过x轴上的定点P；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P的直线与椭圆交于M，N两点，求

OM

•

ON

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

3 a2 + 3 4b2 =1 2a=4

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线BD的方程为y=k（x-4），联立方程组

x2 4 + y2 3 =1 y=k (x-4)

，得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，设点B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则A（x₁，-y₁），由已知条件推导出x=1．由此能证明直线AE恒过x轴上的定点P．
（Ⅲ）当过P点的直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x-1），且M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）在椭圆上，推导出

OM

•

ON

∈[-4，-

5

4

)，当过P点的直线MN的斜率不存在时，

OM

•

ON

=-

5

4

，由此能求出

OM

•

ON

的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点 （

3

，

3

2

）到它的两个焦点的距离之和为4，
∴

3 a2 + 3 4b2 =1 2a=4

，
解得a=2，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）证明：由题意知BD的斜率存在，设直线BD的方程为y=k（x-4），
联立方程组

x2 4 + y2 3 =1 y=k (x-4)

，得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，①
设点B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则A（x₁，-y₁），
直线AE的方程为y-y₂=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)

y2-y1

x2-x1

(x-x2)，
令y=0，得x=x₂-

y2(x2-x1)

y2+y1

，
将y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入上式，
整理，得x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

，②
由①得x1+x2=

32k2

4k2+3

，x1x2=

64k2-12

4k2+3

，将其代入②，
整理，得x=1．
∴直线AE与x轴相交于P（1，0），即直线AE恒过x轴上的定点P．
（Ⅲ）当过P点的直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为y=m（x-1），且M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）在椭圆上，
由

x2

4

+

y2

3

=1，y=m(x-1)，得（4m²+3）x²-8m²x+4m²-12=0，
△=64m⁴-4（4m²+3）（4m²-12）=144m²+144＞0，
∴xM+xN=

8m2

4m2+3

，x_M•x_N=

4m2-12

4m2+3

，y_My_N=-

9m2

4m2+3

，
则

OM

•

ON

=x_Mx_N+y_My_N=-

5m2+12

4m2+3

=-

5

4

-

33

4(4m2+3)

，
∵m²≥0，∴-

11

4

≤

33

4(4m2+3)

＜0，
∴

OM

•

ON

∈[-4，-

5

4

)，
当过P点的直线MN的斜率不存在时，
直线MN的方程为x=1，M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），
此时

OM

•

ON

=-

5

4

，
∴

OM

•

ON

的取值范围是[-4，-

5

4

]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过x轴上的定点，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．