Question

已知实数a，b满足|a-2|=

3b+6

+

7-b

，则不等式2^|1-a|-1＞a（a-2）成立的概率为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  2

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：几何概型

专题：综合题,概率与统计

分析：设x=

b+2

，y=

7-b

，则|a-2|=

3

x+y且x²+y²=9（x≥0，y≥0）．直线与圆（四分之一）的位置关系知3≤|a-2|≤6，
由不等式2^|1-a|＞（1-a）²得|1-a|＜2或|1-a|＞4，从而可求等式2^|1-a|-1＞a（a-2）成立的概率．

解答： 解：设x=

b+2

，y=

7-b

，则|a-2|=

3

x+y且x²+y²=9（x≥0，y≥0）．
由直线与圆（四分之一）的位置关系知3≤|a-2|≤6，解得a∈[-4，-1]∪[5，8]．
由不等式2^|1-a|＞（1-a）²得|1-a|＜2或|1-a|＞4，解得a∈（-∞，-3）∪（-1，3）∪（5，+∞）．
所以当a∈[-4，-3）∪（5，8]时不等式成立．
由几何概型的概率公式可得P=

4

6

=

2

3

．
故选：C

点评：本题考查几何概型，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，有难度．