题目内容
设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在c∈（a，b），使得f（x）在[a，c]上单调递减，在[c，b]上单调递增，则称f（x）为[a，b]上单谷函数，c为谷点．
（1）已知m∈R，判断函数f（x）=
x3-
x2+mx是否为区间[0，2]上的单谷函数；
（2）已知函数fn（x）（n∈N*且n≥2）的导函数f′n=xn+…+x2+x+3•（
）n-2．
①证明：fn（x）为区间[0，
]上的单谷函数：
②记函数fn（x）在区间[0，
]上的峰点为xn，证明：xn+1＞xn．
（1）已知m∈R，判断函数f（x）=
| 1 |
| 3 |
| m+1 |
| 2 |
（2）已知函数fn（x）（n∈N*且n≥2）的导函数f′n=xn+…+x2+x+3•（
| 2 |
| 3 |
①证明：fn（x）为区间[0，
| 2 |
| 3 |
②记函数fn（x）在区间[0，
| 2 |
| 3 |
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）根据单谷函数的定义加以证明，注意对m的取值讨论；
（2）记gn（x）=
(x)=xn+…+x2+x+3•(
)n-2，利用导数证明gn（x）的单调性，
然后根据单谷函数的定义证明fn（x）为区间[0，
]上的单谷函数及证明xn+1＞xn成立．
（2）记gn（x）=
| f | ′ n |
| 2 |
| 3 |
然后根据单谷函数的定义证明fn（x）为区间[0，
| 2 |
| 3 |
解答：
解：（1）∵f′（x）=x2-（m+1）x+m=（x-1）（x-m），--------------1分
∴当m≤0时，x∈（0，1）有f′（x）＜0，故f（x）在[0，1]上单调递减，x∈（1，2）有f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f（x）=
x3-
x2+mx在区间[0，2]上的单谷函数；-------------------------2分
当0＜m≤1时，x∈（0，m）有f′（x）＞0，f（x）在[0，m]上单调递增，∴f（x）不是区间[0，2]上的单谷函数；
当m＞1时，x∈（0，1）有f′（x）＞0，故f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）不是区间[0，2]上单谷函数；-----------------------------------------3分
综上所述，当m≤0时，f（x）是区间[0，2]上的单谷函数；
m＞0时，f（x）不是区间[0，2]上的单谷函数；-----------------------------4分
（2）①证明：记gn（x）=
(x)=xn+…+x2+x+3•(
)n-2，
∴
(x)=nxn-1+…+2x+1，---------------------------------5分
当x∈（0，
）时，
(x)＞0，∴函数
(x)在区间[0，
]上单调递增，--------------------6分
又∵
(0)=3(
)n-2，且n≥2时，(
)n≤
，∴
(0)＜0，
(
)=
+…+(
)n+3(
)n-2=
+3(
)n-2=(
)n＞0，----------8分
∴函数
(x)在区间（0，
）上存在唯一的零点，记为xn，
∴x∈（0，xn）有
(0)＜0，即fn（x）在区间[0，xn]上单调递减；
x∈（xn，
）有
(0)＞0，即fn（x）在区间[xn，
]上单调递增；
∴n≥2，fn（x）是区间[0，
]上的单谷函数，--------------------------10分
②证明：
(x)=xn+…+x2+x+3•(
)n-2，
∴
(xn)=
+
+…+
+xn+3(
)n+1-2 （i）-----------------------11分
由
(xn)=0可得；
+…+
+xn=2-3(
)n，代入（i）得
(xn)=
+（2-3(
)n）+3(
)n+1-2，
即
(xn)=
-(
)n，------------------------------------------12分
∵xn∈（0，
），∴
＜
＜(
)n，
∴
(xn)＜0，又∵
(xn+1)=0，
∴
(xn)＜
(xn+1)，由①知
(xn)单调递增，
∴xn+1＞xn．-----------------------------------------------------14分
∴当m≤0时，x∈（0，1）有f′（x）＜0，故f（x）在[0，1]上单调递减，x∈（1，2）有f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f（x）=
| 1 |
| 3 |
| m+1 |
| 2 |
当0＜m≤1时，x∈（0，m）有f′（x）＞0，f（x）在[0，m]上单调递增，∴f（x）不是区间[0，2]上的单谷函数；
当m＞1时，x∈（0，1）有f′（x）＞0，故f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）不是区间[0，2]上单谷函数；-----------------------------------------3分
综上所述，当m≤0时，f（x）是区间[0，2]上的单谷函数；
m＞0时，f（x）不是区间[0，2]上的单谷函数；-----------------------------4分
（2）①证明：记gn（x）=
| f | ′ n |
| 2 |
| 3 |
∴
| g | ′ n |
当x∈（0，
| 2 |
| 3 |
| g | ′ n |
| f | ′ n |
| 2 |
| 3 |
又∵
| f | ′ n |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| f | ′ n |
| f | ′ n |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| ||||
1-
|
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴函数
| f | ′ n |
| 2 |
| 3 |
∴x∈（0，xn）有
| f | ′ n |
x∈（xn，
| 2 |
| 3 |
| f | ′ n |
| 2 |
| 3 |
∴n≥2，fn（x）是区间[0，
| 2 |
| 3 |
②证明：
| f | ′ n |
| 2 |
| 3 |
∴
| f | ′ n+1 |
| x | n+1 n |
| x | n n |
| x | 2 n |
| 2 |
| 3 |
由
| f | ′ n |
| x | n n |
| x | 2 n |
| 2 |
| 3 |
| f | ′ n+1 |
| x | n+1 n |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
即
| f | ′ n+1 |
| x | n+1 n |
| 2 |
| 3 |
∵xn∈（0，
| 2 |
| 3 |
| x | n+1 n |
| x | n n |
| 2 |
| 3 |
∴
| f | ′ n+1 |
| f | ′ n+1 |
∴
| f | ′ n+1 |
| f | ′ n+1 |
| f | ′ n+1 |
∴xn+1＞xn．-----------------------------------------------------14分
点评：本题主要考查函数、导数、不等式的证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力，
同时也考查分类讨论数学，函数与方程数学划归与转化思想．
同时也考查分类讨论数学，函数与方程数学划归与转化思想．
练习册系列答案
相关题目
已知i为虚数单位，若1-bi=
，则a+bi的模等于（ ）
| 2i |
| a+i |
A、
| ||
| B、2 | ||
| C、4 | ||
| D、1 |
由直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
在三棱锥S-ABC中，O是AB的中点，SA=SB=