Question

已知z₁，z₂为复数，i为虚数单位，z₁•

.

z1

+3（z₁+

.

z1

）+5=0，

z2+3

z2-3

为纯虚数，z₁，z₂在复平面内对应的点分别为P，Q．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）求点Q的轨迹方程；
（3）写出线段PQ长的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆,数系的扩充和复数

分析：（1）设出复数z₁=x+yi（x，y∈R），代入z₁•

.

z1

+3（z₁+

.

z1

）+5=0整理得到z₁在复平面内对应的点P的轨迹方程；
（2）设z₂=x+yi（x，y∈R），代入

z2+3

z2-3

，由其为纯虚数整理得到z₂在复平面内对应的点Q的轨迹；
（3）画出P，Q的轨迹所表示的图形，数形结合求得线段PQ长的取值范围．

解答： 解：（1）设z₁=x+yi（x，y∈R），
由z₁•

.

z1

+3（z₁+

.

z1

）+5=0，得：
（x+yi）（x-yi）+3（x+yi+x-yi）+5=0，
整理得（x+3）²+y²=4．
∴点P的轨迹方程为（x+3）²+y²=4；
（2）设z₂=x+yi（x，y∈R），

z2+3

z2-3

=

x+3+yi

x-3+yi

=

x2+y2-9-6yi

(x-3)2+y2

，
∵

z2+3

z2-3

为纯虚数，
∴x²+y²=9且y≠0，
∴点Q的轨迹方程为x²+y²=9 （y≠0）；
（3）如图，

由图可知，线段PQ长的取值范围[0，8]．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了复数的代数表示法及其几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．